Деление отрезка в заданном отношении
Пусть дан отрезок на плоскости с концами и и пусть точка лежит внутри этого отрезка (Рис. 1.)
Говорят, что точка делит отрезок в отношении , если .
Решим задачу о нахождении координат и точки .
Проведём через точку прямую, параллельную оси абсцисс, а через точку прямую, параллельную оси ординат и пусть эти прямые пересекаются в точке . (Рис. 2.)
Определим координаты точки . Так как лежит на прямой, проходящей через точку и параллельной оси ординат, то первая координата точки совпадает с первой координатой точки и равна . Поскольку лежит на прямой, проходящей через точку параллельно оси абсцисс, то вторая координата точки совпадает со второй координатой точки и равна . Таким образом, точка имеет координаты , .
Аналогично проведем через точку прямую, параллельную оси абсцисс, а через точку прямую, параллельную оси ординат и пусть эти прямые пересекаются в точке . Повторяя предыдущие рассуждения получаем координаты точки : и .
Рассмотрим и . Эти треугольники — прямоугольные и подобные. По условию . Следовательно, в силу подобия треугольников,
Рассмотрим первое равенство. , . Отсюда получаем, что . Домножая обе части на знаменатель, получим: . Отсюда: . Выражаем :
Рассмотрим теперь второе равенство. , . Отсюда получаем, что . Повторяя предыдущие выкладки, получим выражение для :
Таким образом — искомая точка, делящая отрезок в отношении .
В качестве упражнения предлагается обобщить задачу на трёхмерный случай.
Ответ:
